Из точки к плоскости α проведены две наклонные. Найдите расстояние от данной точки до плоскости, если наклонные имеют равные длины по 3√2 см, угол между ними равен 60°, а угол между их проекциями — прямой.

1. Рассмотрим треугольник, образованный наклонными и расстоянием от точки до плоскости. Пусть A - данная точка, B и C - основания наклонных, O - проекция точки A на плоскость α.

2. Дано: AB = AC = 3√2 см, ∠BAC = 60°, ∠BOC = 90°.

3. Треугольник ABC - равнобедренный (AB = AC), и ∠BAC = 60°, следовательно, треугольник ABC - равносторонний. Значит, BC = AB = AC = 3√2 см.

4. Рассмотрим треугольник BOC. Он прямоугольный (∠BOC = 90°). По теореме Пифагора, BO² + OC² = BC². Так как проекции OB и OC образуют прямой угол, и OB = OC (так как AB = AC и AO - общее), то можно записать: 2BO² = BC².

5. Подставим значение BC: 2BO² = (3√2)² = 18. Тогда BO² = 9, и BO = 3 см.

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. По теореме Пифагора, AO² + BO² = AB². Подставим известные значения: AO² + 3² = (3√2)². AO² + 9 = 18. AO² = 9. AO = 3 см.

7. Таким образом, расстояние от точки A до плоскости α равно 3 см.

Ответ: 3 см