17) Из точки M к окружности с центром O и радиусом, равным 3, проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания, если \(\angle AOB = 120^\circ\).

Дано: Окружность с центром O, радиус \(R = 3\), \(MA\) и \(MB\) - касательные, \(\angle AOB = 120^\circ\). Найти: \(AB\). Решение: 1. Т.к. \(MA\) и \(MB\) - касательные, то \(\angle OAM = \angle OBM = 90^\circ\). 2. Рассмотрим четырехугольник \(AOBM\). Сумма углов четырехугольника равна \(360^\circ\). Следовательно, \(\angle AMB = 360^\circ - \angle OAM - \angle OBM - \angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). 3. Т.к. \(OA = OB = R\), то \(\triangle AOB\) - равнобедренный. \(\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - \angle AOB) / 2 = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ\). 4. Проведем \(OC\) - высоту в \(\triangle AOB\). Т.к. \(\triangle AOB\) - равнобедренный, то \(OC\) - также медиана и биссектриса. Следовательно, \(\angle AOC = \angle AOB / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ\), \(AC = AB / 2\). 5. Рассмотрим \(\triangle AOC\) - прямоугольный. \(\sin \angle AOC = AC / OA\), \(AC = OA \cdot \sin \angle AOC = R \cdot \sin 60^\circ = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\). 6. Тогда, \(AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\). Ответ: \(3\sqrt{3}\).