17) Из точки M к окружности с центром O и радиусом, равным 5, проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания, если \(\angle AOB = 120^\circ\).

Решение: 1. Чертеж и анализ: Представим себе окружность с центром в точке O и радиусом R = 5. Из внешней точки M проведены касательные MA и MB к этой окружности. Известно, что \(\angle AOB = 120^\circ\). Наша задача – найти длину отрезка AB. 2. Свойства касательных: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, \(\angle MAO = 90^\circ\) и \(\angle MBO = 90^\circ\). 3. Рассмотрим четырехугольник MAOB: Сумма углов четырехугольника равна 360°. \(\angle AOB + \angle MAO + \angle MBO + \angle AMB = 360^\circ\) Подставим известные значения: \(120^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle AMB = 360^\circ\) \(300^\circ + \angle AMB = 360^\circ\) \(\angle AMB = 60^\circ\) 4. Рассмотрим треугольники \(\triangle MAO\) и \(\triangle MBO\): Они прямоугольные, и имеют общую гипотенузу MO. Кроме того, OA = OB = R. Следовательно, \(\triangle MAO = \triangle MBO\) по гипотенузе и катету. Значит, \(\angle AMO = \angle BMO = \frac{\angle AMB}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\) 5. Найдем длину отрезка AM (или BM): В прямоугольном треугольнике \(\triangle MAO\) имеем: \(\tan(\angle AMO) = \frac{OA}{AM}\) \(\tan(30^\circ) = \frac{5}{AM}\) \(AM = \frac{5}{\tan(30^\circ)} = \frac{5}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 5\sqrt{3}\) 6. Найдем длину отрезка MO: В прямоугольном треугольнике \(\triangle MAO\) имеем: \(\sin(\angle AMO) = \frac{OA}{MO}\) \(\sin(30^\circ) = \frac{5}{MO}\) \(MO = \frac{5}{\sin(30^\circ)} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 10\) 7. Найдем длину отрезка AB: Рассмотрим \(\triangle AOB\). Он равнобедренный, так как OA = OB = R = 5. Угол \(\angle AOB = 120^\circ\). Проведем высоту OC к основанию AB. OC является и медианой, и биссектрисой. Тогда \(\angle AOC = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ\) В прямоугольном треугольнике \(\triangle AOC\) имеем: \(\sin(\angle AOC) = \frac{AC}{OA}\) \(\sin(60^\circ) = \frac{AC}{5}\) \(AC = 5\sin(60^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}\) Так как OC – медиана, то AB = 2 * AC. \(AB = 2 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\) Ответ: \(5\sqrt{3}\)