Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания A и B, если \(\angle AOB = 120^{\circ}\) и \(MO = 4\).

Решение: 1. Визуализация: Представим себе окружность с центром в точке O. Из точки M вне окружности проведены две касательные MA и MB к окружности. Точки A и B - точки касания. Нам известно, что угол \(\angle AOB = 120^{\circ}\) и расстояние от точки M до центра окружности MO = 4. 2. Свойства касательных: Вспомним, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, \(\angle OAM = 90^{\circ}\) и \(\angle OBM = 90^{\circ}\). 3. Рассмотрим четырехугольник OAMB: Сумма углов в четырехугольнике равна \(360^{\circ}\). Значит, \(\angle AMB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\). 4. Рассмотрим треугольники \(\triangle OAM\) и \(\triangle OBM\): Эти треугольники прямоугольные (т.к. \(\angle OAM = \angle OBM = 90^{\circ}\)), и они равны по катету (OA = OB как радиусы) и гипотенузе (OM - общая). Значит, \(\angle AOM = \angle BOM = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} cdot 120^{\circ} = 60^{\circ}\). 5. Найдем радиус OA: Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle OAM\). Используем синус угла \(\angle AOM\): \[ \sin(\angle AOM) = \frac{AM}{OM} \] \[ \sin(60^{\circ}) = \frac{AM}{4} \] Т.к. \(\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), то \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AM}{4} \] \[ AM = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \] Теперь найдем OA, используя теорему Пифагора для треугольника OAM: \[ OA^2 + AM^2 = OM^2 \] \[ OA^2 = OM^2 - AM^2 \] \[ OA^2 = 4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - 12 = 4 \] \[ OA = \sqrt{4} = 2 \] 6. Найдем AB: Рассмотрим треугольник \(\triangle AOB\). Он равнобедренный (OA = OB = R). Проведем высоту OC к основанию AB. Эта высота также является медианой и биссектрисой. Тогда \(\angle AOC = \frac{1}{2} \angle AOB = 60^{\circ}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle AOC\). \[ \sin(\angle AOC) = \frac{AC}{OA} \] \[ \sin(60^{\circ}) = \frac{AC}{2} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{2} \] \[ AC = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \] Т.к. AC - половина AB, то \[ AB = 2 \cdot AC = 2\sqrt{3} \] Ответ: \(2\sqrt{3}\)