Из точки С окружности опущен перпендикуляр CD на её диаметр АВ, AC = 6√2 см. Найдите радиус окружности, если отрезок AD на 10 см меньше отрезка BD.

Решение:

Пусть \( R \) — радиус окружности. Тогда диаметр \( AB = 2R \).

По условию, \( CD \perp AB \). В прямоугольном треугольнике \( \triangle ACB \) (угол \( \angle ACB \) вписан и опирается на диаметр, значит равен 90°), \( CD \) — высота, проведенная к гипотенузе.

Из прямоугольного \( \triangle ACB \):

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]\[ (6\sqrt{2})^2 + BC^2 = (2R)^2 \]\[ 72 + BC^2 = 4R^2 \]
Также, в прямоугольном \( \triangle ACB \) с высотой \( CD \) к гипотенузе, выполняется соотношение:

\[ AC^2 = AD · AB \]
Подставим известные значения:

\[ (6\sqrt{2})^2 = AD · 2R \]\[ 72 = AD · 2R \]\[ AD = \frac{72}{2R} = \frac{36}{R} \]
По условию, \( AD = BD - 10 \) или \( BD = AD + 10 \).

Также, \( AB = AD + BD \).

\[ 2R = AD + (AD + 10) \]\[ 2R = 2AD + 10 \]\[ R = AD + 5 \]
Подставим выражение для \( AD \):

\[ R = \frac{36}{R} + 5 \]
Умножим обе части на \( R \):

\[ R^2 = 36 + 5R \]\[ R^2 - 5R - 36 = 0 \]
Решим квадратное уравнение относительно \( R \). Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 · 1 · (-36) = 25 + 144 = 169 \). \( \sqrt{D} = 13 \).

Корни уравнения:

\[ R_1 = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]\[ R_2 = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
Так как радиус не может быть отрицательным, то \( R = 9 \text{ см} \).

Проверим условие \( AD = BD - 10 \).

\( R = 9 \text{ см} \), \( AB = 2R = 18 \text{ см} \).

\( AD = \frac{36}{R} = \frac{36}{9} = 4 \text{ см} \).

\( BD = AB - AD = 18 - 4 = 14 \text{ см} \).

Проверяем условие: \( 14 - 4 = 10 \text{ см} \). Условие выполняется.

Ответ: 9 см.