Высота СМ треугольника АВС делит его сторону АВ на отрезки АМ и ВМ. Найдите сторону ВС, если АМ = 15 см, ВМ = 5 см, $$\angle A = 30^\circ$$.

Дано: $$\triangle ABC$$, CM - высота, M лежит на AB. AM = 15 см, BM = 5 см, $$\angle A = 30^\circ$$.

Найти: BC.

Решение:

1. Сначала найдем сторону AC в прямоугольном треугольнике $$\triangle AMC$$.
2. Из определения синуса острого угла в прямоугольном треугольнике: $$\sin A = \frac{CM}{AC}$$.
3. Из определения косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике: $$\cos A = \frac{AM}{AC}$$.
4. Так как $$\angle A = 30^\circ$$ и AM = 15 см, то $$AC = \frac{AM}{\cos A} = \frac{15}{\cos 30^\circ} = \frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$$ см.
5. Теперь найдем высоту CM: $$CM = AC     \sin A = 10\sqrt{3}     \sin 30^\circ = 10\sqrt{3}     \frac{1}{2} = 5\sqrt{3}$$ см.
6. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle CMB$$.
7. По теореме Пифагора: $$BC^2 = CM^2 + BM^2$$.
8. $$BC^2 = (5\sqrt{3})^2 + 5^2 = (25  3) + 25 = 75 + 25 = 100$$.
9. $$BC = \sqrt{100} = 10$$ см.

Ответ: 10 см