Из точки С окружности опущен перпендикуляр CD на её диаметр АВ, АС = 6√2 см. Найдите радиус окружности, если отрезок AD на 10 см меньше отрезка BD.

Дано: Окружность с центром O, AB - диаметр. C - точка на окружности. CD $$\perp$$ AB, D лежит на AB. AC = $$6\sqrt{2}$$ см. AD = BD - 10 см.

Найти: Радиус окружности (R).

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике $$\triangle ADC$$ (так как CD $$\perp$$ AB), по теореме Пифагора: $$AC^2 = AD^2 + CD^2$$.
2. В прямоугольном треугольнике $$\triangle BDC$$, по теореме Пифагора: $$BC^2 = BD^2 + CD^2$$.
3. Угол $$\angle ACB$$ вписан в окружность и опирается на диаметр AB, следовательно, $$\angle ACB = 90^\circ$$.
4. В прямоугольном треугольнике $$\triangle ABC$$, $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$.
5. Пусть AD = x. Тогда BD = x + 10.
6. Диаметр AB = AD + DB = x + (x + 10) = 2x + 10.
7. Радиус окружности $$R = \frac{AB}{2} = \frac{2x+10}{2} = x+5$$.
8. Используем свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенной из вершины прямого угла: $$AC^2 = AD  AB$$.
9. $$(6\sqrt{2})^2 = x  (2x + 10)$$.
10. $$36  2 = 2x^2 + 10x$$.
11. $$72 = 2x^2 + 10x$$.
12. $$2x^2 + 10x - 72 = 0$$.
13. Разделим все на 2: $$x^2 + 5x - 36 = 0$$.
14. Решим квадратное уравнение. Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4  1  (-36) = 25 + 144 = 169$$.
15. $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2  1} = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4$$.
16. $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$.
17. Так как x - это длина отрезка AD, она не может быть отрицательной. Следовательно, x = 4 см.
18. AD = 4 см.
19. BD = AD + 10 = 4 + 10 = 14 см.
20. AB = AD + BD = 4 + 14 = 18 см.
21. Радиус окружности $$R = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ см.

Ответ: 9 см