Из вершины C прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°) проведен перпендикуляр CD к его плоскости. Найти длины наклонных AD и BD, а также длину перпендикуляра CD при следующих данных: | AB | ∠CAB | ∠CBA | ∠DAC | ∠DBC | ∠ADC | ∠BDC | |---|---|---|---|---|---|---| | 10 | 30° | | 60° | | | |

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, ∠CBA = 180° - 90° - 30° = 60°.

В прямоугольном треугольнике ABC против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, BC = AB / 2 = 10 / 2 = 5.

По теореме Пифагора, AC² + BC² = AB², откуда AC² = AB² - BC² = 10² - 5² = 100 - 25 = 75. Следовательно, AC = √75 = 5√3.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Так как ∠DAC = 60°, то ∠ACD = 90° - 60° = 30°.

В прямоугольном треугольнике ADC тангенс угла DAC равен отношению противолежащего катета CD к прилежащему катету AC. То есть, $$tg(∠DAC) = \frac{CD}{AC}$$. Следовательно, $$CD = AC * tg(60°) = 5\sqrt{3} * \sqrt{3} = 5 * 3 = 15$$.

В прямоугольном треугольнике ADC косинус угла DAC равен отношению прилежащего катета AC к гипотенузе AD. То есть, $$cos(∠DAC) = \frac{AC}{AD}$$. Следовательно, $$AD = \frac{AC}{cos(60°)} = \frac{5\sqrt{3}}{1/2} = 10\sqrt{3}$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. В этом треугольнике нам известны катеты CD = 15 и BC = 5. По теореме Пифагора, BD² = BC² + CD² = 5² + 15² = 25 + 225 = 250. Следовательно, $$BD = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}$$.

В прямоугольном треугольнике ADC, ∠ADC = 90°.

В прямоугольном треугольнике BDC, ∠BDC = 90°.

В прямоугольном треугольнике BDC тангенс угла DBC равен отношению противолежащего катета CD к прилежащему катету BC. То есть, $$tg(∠DBC) = \frac{CD}{BC} = \frac{15}{5} = 3$$. Следовательно, $$∠DBC = arctg(3)$$.

AB	∠CAB	∠CBA	∠DAC	∠DBC	∠ADC	∠BDC	CD	AD	BD
10	30°	60°	60°	arctg(3)	90°	90°	15	10√3	5√10

Ответ: AD = 10√3, BD = 5√10, CD = 15, ∠DBC = arctg(3), ∠ADC = 90°, ∠BDC = 90°.