3 Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства: a) x + y ≥ 4; б) ху≥ 4.

a) x + y ≥ 4

Для построения множества решений неравенства x + y ≥ 4, сначала построим график прямой x + y = 4. Эта прямая разделит координатную плоскость на две полуплоскости. Нам нужно определить, какая из полуплоскостей удовлетворяет неравенству x + y ≥ 4. Для этого выберем произвольную точку, например (0; 0) и подставим её в неравенство: 0 + 0 ≥ 4, что неверно. Значит, полуплоскость, содержащая точку (0; 0), не является решением неравенства. Таким образом, решением неравенства является полуплоскость, не содержащая точку (0; 0), включая прямую x + y = 4.

Прямая x + y = 4 проходит через точки (4;0) и (0;4).

        ^
        |
   (0,4)|  * y= -x+4
        |
        |   /  Решение
        |  /
        | /
   -----+----------------->
        |       x
        (4,0)

б) xy ≥ 4

Для построения множества решений неравенства xy ≥ 4, сначала построим график гиперболы xy = 4. Гипербола состоит из двух ветвей, расположенных в первом и третьем квадрантах. В первом квадранте y = 4/x, и в третьем квадранте y = 4/x. Чтобы определить, какая часть плоскости удовлетворяет неравенству xy ≥ 4, выберем точки в разных областях, например (1; 1), (2; 2) и (-1; -1), (-2; -2).

Для точки (1; 1): 1 * 1 ≥ 4, что неверно.

Для точки (2; 2): 2 * 2 ≥ 4, что верно.

Для точки (-1; -1): (-1) * (-1) ≥ 4, что неверно.

Для точки (-2; -2): (-2) * (-2) ≥ 4, что верно.

Таким образом, решением неравенства является область, ограниченная ветвями гиперболы xy = 4, расположенная в первом и третьем квадрантах, включая саму гиперболу.

        ^
        |
        |    Решение
        |   /      \
        |  /        \
   -----+----------------->
        |       x
        |  \        /
        |   \      /
        |    Решение
        xy=4

Ответ: Множество решений неравенства a) x + y ≥ 4 - полуплоскость, не содержащая точку (0; 0), включая прямую x + y = 4; б) xy ≥ 4 - область, ограниченная ветвями гиперболы xy = 4, расположенная в первом и третьем квадрантах, включая саму гиперболу.