3 Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства: a) x + y ≥ 4; б) xy≥ 4.

a) x + y ≥ 4

Для того, чтобы изобразить множество решений неравенства x + y ≥ 4, сначала построим график прямой x + y = 4.

Прямая проходит через точки (4; 0) и (0; 4).

Возьмем точку (0; 0) и подставим в неравенство: 0 + 0 ≥ 4, что неверно. Значит, множество решений – это полуплоскость выше прямой x + y = 4, включая саму прямую.

      y
      |
      |    / \
      |   /   \
      |  /     \
      | /       \
    4 +--------\
      |         |
      |         |
      |         |
      |         |
------+------------------ x
      0      4

б) xy ≥ 4

Для того, чтобы изобразить множество решений неравенства xy ≥ 4, сначала построим график гиперболы xy = 4, то есть $$y = \frac{4}{x}$$.

Гипербола проходит через точки (2; 2), (1; 4), (4; 1), (-2; -2), (-1; -4), (-4; -1).

Возьмем точку (1; 1) и подставим в неравенство: 1⋅1 ≥ 4, что неверно. Значит, множество решений – это области, ограниченные ветвями гиперболы, в первом и третьем квадрантах, включая саму гиперболу.

      y
      |
      |    / \
      |   /   \
      |  /     \
    4 +-/-------\
      |/        |
      ||        |
      ||        |
------+------------------ x
      0      4
      ||        |
      ||        |
      |\        |
    -4 +-\-------\
      |  \     /
      |   \   /
      |    \ /

Ответ: Множества решений неравенств изображены выше.