Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства: а) x + y ≥ 4; б) ху ≥ 4.

а) x + y ≥ 4;

Для изображения множества решений неравенства $$x + y \ge 4$$ на координатной плоскости построим прямую $$x + y = 4$$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

Если $$x = 0$$, то $$y = 4$$.

Если $$y = 0$$, то $$x = 4$$.

Отметим точки $$(0; 4)$$ и $$(4; 0)$$ на координатной плоскости и проведем через них прямую.

Прямая $$x + y = 4$$ разделит координатную плоскость на две полуплоскости.

Нужно выбрать полуплоскость, точки которой удовлетворяют неравенству $$x + y \ge 4$$.

Возьмем точку $$(0; 0)$$ и подставим ее координаты в неравенство: $$0 + 0 \ge 4$$. Это неверно, значит, точка $$(0; 0)$$ не принадлежит множеству решений неравенства $$x + y \ge 4$$. Следовательно, нужно выбрать полуплоскость, не содержащую точку $$(0; 0)$$.

Таким образом, множество решений неравенства $$x + y \ge 4$$ - это полуплоскость, расположенная выше прямой $$x + y = 4$$, включая саму прямую.

б) ху ≥ 4.

Для изображения множества решений неравенства $$xy \ge 4$$ на координатной плоскости построим гиперболу $$xy = 4$$.

Выразим $$y$$ через $$x$$: $$y = \frac{4}{x}$$.

Построим график функции $$y = \frac{4}{x}$$.

Эта гипербола разделит координатную плоскость на четыре области. Нужно выбрать области, точки которых удовлетворяют неравенству $$xy \ge 4$$.

Возьмем точку $$(1; 1)$$ и подставим ее координаты в неравенство: $$1 \cdot 1 \ge 4$$. Это неверно, значит, точка $$(1; 1)$$ не принадлежит множеству решений неравенства $$xy \ge 4$$. Следовательно, нужно выбрать области, не содержащие точку $$(1; 1)$$.

Возьмем точку $$(2; 2)$$ и подставим ее координаты в неравенство: $$2 \cdot 2 \ge 4$$. Это верно, значит, точка $$(2; 2)$$ принадлежит множеству решений неравенства $$xy \ge 4$$. Следовательно, нужно выбрать области, содержащие точку $$(2; 2)$$.

Таким образом, множество решений неравенства $$xy \ge 4$$ - это области, расположенные в первом и третьем квадрантах координатной плоскости, ограниченные гиперболой $$xy = 4$$, включая саму гиперболу.

Ответ: смотри решение.