Известно, что $$ac + bd = 11$$, $$ad - bc = 10$$, где $$a, b, c, d$$ - некоторые действительные числа. Найдите $$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$$.

Нам даны следующие уравнения: $$ac + bd = 11$$ $$ad - bc = 10$$ Требуется найти значение выражения $$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$$. Раскроем скобки в этом выражении: $$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$$ Сгруппируем члены следующим образом: $$a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2) - 2abcd + 2abcd$$ Представим это выражение в виде суммы квадратов: $$a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = (ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2$$ Теперь перегруппируем слагаемые: $$(ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2 = (ac)^2 + 2(ac)(bd) + (bd)^2 + (ad)^2 - 2(ad)(bc) + (bc)^2 - 2abcd + 2abcd$$ Заметим, что это можно переписать как: $$(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$$ Теперь подставим значения из условия задачи: $$(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (11)^2 + (10)^2 = 121 + 100 = 221$$ Таким образом, $$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 221$$. Ответ: 221