Известно, что АВ || CD, AM = CK, ∠AMB = ∠CKD (рис. 270). Докажите, что BC || AD.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Так как AB || CD, то ABCD - трапеция.

Также, AM = CK. Значит, BM = DK (т.к. BC = AM + MC, AD = CK + KA и AM = CK).

$$∠AMB = ∠CKD$$ (дано)

Докажем, что треугольники ABM и CDK равны:

1. AB = CD (дано)

2. AM = CK (дано)

3. ∠AMB = ∠CKD (дано)

Значит, треугольники ABM и CDK равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Следовательно, ∠BAM = ∠DCK (как соответственные углы равных треугольников).

Так как ∠BAM и ∠DCK накрест лежащие углы при прямых AD и BC и секущей AM, то AD || BC.