Известно, что АВ || CD, AM = CK, ZAMB = ∠CKD (рис. 270). Докажите, что BC || AD.

Рассмотрим рисунок 270.

Из условия задачи известно:

AB || CD, AM = CK, ∠AMB = ∠CKD

Доказать: BC || AD

Решение:

Т.к. AB || CD, то ∠ABM = ∠DCK как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC.

Рассмотрим треугольники ABM и CDK. AM = CK по условию, ∠AMB = ∠CKD по условию, ∠ABM = ∠DCK, следовательно, треугольники ABM и CDK равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB = CD, BM = DK.

Т.к. AB || CD и AB = CD, то четырехугольник ABCD - параллелограмм по признаку параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм).

В параллелограмме противоположные стороны параллельны, следовательно, BC || AD, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что BC || AD