4. J(+) dx

Ответ: смотри решение ниже

Решение:

Дано: \[\int (\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}) dx\]

Применим свойства интеграла суммы: \[\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx\]

Тогда интеграл можно разбить на два: \[\int \frac{2}{x} dx + \int \frac{3}{x^2} dx\]

Константы можно вынести за знак интеграла: \[2 \int \frac{1}{x} dx + 3 \int \frac{1}{x^2} dx\]

Первый интеграл: \[\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C_1\]

Второй интеграл: преобразуем подынтегральную функцию, используя свойства степеней: \[\frac{1}{x^2} = x^{-2}\]

Применим формулу интегрирования для степенной функции: \[\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]

В нашем случае: n = -2, следовательно, \[\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C_2 = \frac{x^{-1}}{-1} + C_2 = -\frac{1}{x} + C_2\]

Объединим результаты: \[2 \ln|x| - \frac{3}{x} + C\]

Ответ: \(2 \ln|x| - \frac{3}{x} + C\)