К–2, вариант 3. 1. В треугольнике ABC ∠A=20°, ∠C=50°, AC=15. Найдите неизвестные элементы треугольника и радиус описанной около него окружности. 2. В параллелограмме ABCD AB=4, AD=5, BD=6. Найдите ∠CBD и площадь параллелограмма. 3*. В ромбе ABCD AP — биссектриса треугольника CAD. ∠BAD=2α, PD=a. Найдите площадь ромба.

1. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому \(\angle B=180^\circ-20^\circ-50^\circ=110^\circ\).

По теореме синусов и формуле радиуса описанной окружности:

\[\frac{BC}{\sin 20^\circ}=\frac{AB}{\sin 50^\circ}=\frac{AC}{\sin 110^\circ}=2R.\]

Следовательно, \(AB=\frac{15\sin 50^\circ}{\sin 110^\circ}\approx12.23\), \(BC=\frac{15\sin 20^\circ}{\sin 110^\circ}\approx5.46\), а \(R=\frac{15}{2\sin 110^\circ}\approx7.98\).

2. В треугольнике ABD известны стороны AB=4, AD=5, BD=6. По теореме косинусов:

\[\cos\angle ADB=\frac{AD^2+BD^2-AB^2}{2\cdot AD\cdot BD}=\frac{25+36-16}{60}=\frac34.\]

Поскольку BC параллельна AD, угол CBD равен углу ADB. Значит, \(\angle CBD=\arccos(3/4)\approx41.4^\circ\).

Площадь треугольника ABD по формуле Герона: полупериметр равен \(15/2\), поэтому \(S_{ABD}=\sqrt{(15/2)(7/2)(5/2)(3/2)}=3\sqrt{35}/4\). Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, откуда \(S_{ABCD}=3\sqrt{35}/2\).

3*. Диагональ AC ромба делит угол A пополам, поэтому \(\angle CAD=\alpha\). Так как AD=CD, треугольник CAD равнобедренный и \(\angle ACD=\alpha\). По теореме о биссектрисе AP в треугольнике CAD: \(CP/PD=CA/AD\). Кроме того, \(CA=2AD\cos\alpha\), а \(CP+PD=AD\). При PD=a получаем \(AD=a(1+2\cos\alpha)\).

Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла BAD:

\[S=a^2(1+2\cos\alpha)^2\sin 2\alpha.\]

Ответ: 1) \(\angle B=110^\circ\), \(AB\approx12.23\), \(BC\approx5.46\), \(R\approx7.98\); 2) \(\angle CBD\approx41.4^\circ\), \(S=3\sqrt{35}/2\); 3) \(S=a^2(1+2\cos\alpha)^2\sin 2\alpha\).