К–2, вариант 4. 1. В треугольнике PKM ∠K=40°, PK=2, KM=5. Найдите неизвестные элементы треугольника. 2. В равнобедренном треугольнике ABC AB=BC. ∠A=65°. Через середину E стороны AB проведена прямая, пересекающая BC в точке K; ∠KEB=20°. Найдите площадь треугольника BEK и радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BK=5. 3*. Площадь треугольника равна S и два угла его равны α и β. Найдите радиус описанной около треугольника окружности.

1. По теореме косинусов для стороны PM:

\[PM^2=PK^2+KM^2-2\cdot PK\cdot KM\cos40^\circ=29-20\cos40^\circ,\]

поэтому \(PM\approx3.79\). По теореме синусов \(\sin\angle PMK=PK\sin40^\circ/PM\), откуда \(\angle PMK\approx19.6^\circ\), а \(\angle KPM=180^\circ-40^\circ-\angle PMK\approx120.4^\circ\).

2. В условии указано, что прямая пересекает BC в K и \(\angle KEB=20^\circ\), но слово, задающее свойство этой прямой, на снимке неразборчиво. Если читать условие буквально, данные противоречат друг другу: в треугольнике BEK углы при B и E равны 50° и 20°, поэтому по теореме синусов \(BE=5\sin110^\circ/\sin20^\circ\approx13.75\). Тогда AB=2BE≈27.50. Но AB=BC, а BK — часть стороны BC, значит BK не может быть 5 при BC≈27.50 и одновременно образовывать с BA угол 50° и удовлетворять указанному треугольнику BEK. Нужен более чёткий снимок строки с условием, чтобы надёжно решить этот пункт.

3*. Пусть третий угол равен \(180^\circ-\alpha-\beta\). Для площади через радиус описанной окружности используется формула \(S=2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha+\beta)\). Следовательно, \[R=\sqrt{\frac{S}{2\sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha+\beta)}}.\]

Ответ: 1) \(PM\approx3.79\), \(\angle PMK\approx19.6^\circ\), \(\angle KPM\approx120.4^\circ\); 2) условие требует уточнения; 3) \(R=\sqrt{S/(2\sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha+\beta))}\).