278. К гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC с углом 15° проведены медиана СМ и высота СН. Найдите АВ, если CH = 4.

В прямоугольном треугольнике ABC с углом ∠A = 15°, медиана CM и высота CH проведены к гипотенузе AB. Дано CH = 4. Нужно найти AB.

Поскольку CM - медиана, проведённая к гипотенузе, то CM = AM = MB = AB/2. Значит, треугольник CMB - равнобедренный, и углы при основании равны: ∠MBC = ∠MCB.

Угол ∠ABC = 90° - ∠A = 90° - 15° = 75°.

Тогда ∠MCB = ∠MBC = 75°.

Угол ∠MCH = ∠MCB - ∠HCB.

Так как CH - высота, то ∠HCB = 90° - ∠ABC = 90° - 75° = 15°.

Значит, ∠MCH = 75° - 15° = 60°.

Треугольник MCH - прямоугольный, поэтому CM = CH / cos(∠MCH) = 4 / cos(60°) = 4 / (1/2) = 8.

Поскольку CM = AB/2, то AB = 2 * CM = 2 * 8 = 16.

Ответ: AB = 16.