К окружности с центром O провели касательную AB (B — точка касания). Найдите радиус окружности, если AB = 8 см и ∠AOB = 45°.

1. Радиус OB перпендикулярен касательной AB в точке касания B, значит ∠OBA = 90°.

2. В прямоугольном треугольнике OBA, по теореме Пифагора: OA² = OB² + AB².

3. Также, cos(∠AOB) = OB / OA. cos(45°) = OB / OA. OB = OA * cos(45°). OA² = OB² + 8². OA² = (OA * cos(45°))² + 64. OA² = OA² * (1/2) + 64. OA² / 2 = 64. OA² = 128. OA = √128 = 8√2 см. OB = OA * cos(45°) = 8√2 * (√2/2) = 8 см.