К окружности с центром S проведена касательная LM (M – точка касания) и секущая LT. Определи градусную меру \(\angle MLT\), если он опирается на \(\smile MT = 117^\circ 45'\).

Давай решим эту задачу вместе! Понимание задачи: У нас есть окружность с центром в точке S. Прямая LM является касательной к этой окружности в точке M, а прямая LT является секущей к этой окружности. Дуга MT, на которую опирается угол MLT, равна 117°45'. Нам нужно найти градусную меру угла MLT. Решение: Угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности градусных мер дуг, заключенных между его сторонами. В нашем случае, угол MLT образован касательной LM и секущей LT. Он опирается на дугу MT. 1. Нахождение большей дуги: Вся окружность составляет 360 градусов. Большая дуга (MT) равна разнице между 360 градусами и меньшей дугой (MT). \[ \text{Большая дуга } MT = 360^\circ - 117^\circ 45' \] Чтобы вычесть 117°45' из 360°, нужно занять 1 градус и представить его как 60 минут: \[ 360^\circ = 359^\circ 60' \] Теперь вычитаем: \[ 359^\circ 60' - 117^\circ 45' = 242^\circ 15' \] 2. Применение теоремы об угле между касательной и секущей: Угол \(MLT\) равен половине разности большей и меньшей дуг, заключенных между сторонами угла: \[ \angle MLT = \frac{1}{2} (\text{Большая дуга } MT - \text{Меньшая дуга } MT) \] \[ \angle MLT = \frac{1}{2} (242^\circ 15' - 117^\circ 45') \] Сначала вычтем градусы и минуты: \[ 242^\circ 15' - 117^\circ 45' \] Чтобы вычесть 45' из 15', нужно занять 1 градус и представить его как 60 минут: \[ 242^\circ 15' = 241^\circ 75' \] Теперь вычитаем: \[ 241^\circ 75' - 117^\circ 45' = 124^\circ 30' \] Теперь найдем половину полученной разности: \[ \angle MLT = \frac{1}{2} (124^\circ 30') = 62^\circ 15' \] Таким образом, градусная мера угла MLT равна 62°15'. Ответ: \(62^\circ 15'\)