К вертикально расположенной пружине прикрепили груз некоторой массы, объемом 0,1 литра. Когда груз отпустили в воду, пружина растянулась на 2,5дм см. Затем воду посолили, и плотность воды стала в 1,23 раза больше. Далее взяли второй груз, того же объема, но с плотностью, превышающую плотность первого в 5 раз. Его подвесили на пружине, имеющую жесткость 50Н/м, окунув в тот же соляной раствор. В результате этого, пружина удлинилась на 10см. Определите жесткость первой пружины. Ускорение свободного падения принять равным 10м/с2.

Решение:

Для решения задачи будем использовать закон Гука и закон Архимеда.

1. Определим известные величины и переведем их в СИ:

• Объем грузов \( V = 0.1 \text{ л} = 0.0001 \text{ м}^3 \).
• Ускорение свободного падения \( g = 10 \text{ м/с}^2 \).

2. Первый случай (первый груз в воде):

• Растяжение пружины \( Δl_1 = 2.5 \text{ дм} = 0.25 \text{ м} \).
• Плотность воды \( ρ_{воды} \).
• Плотность первого груза \( ρ_1 \).
• Сила тяжести первого груза \( P_1 = m_1 \cdot g = ρ_1 \cdot V \cdot g \).
• Сила Архимеда \( F_{A1} = ρ_{воды} \cdot V \cdot g \).
• По закону Гука, сила упругости \( F_{упр1} = k_1 \cdot Δl_1 \).
• В состоянии равновесия: \( P_1 = F_{A1} + F_{упр1} \).
• \( ρ_1 \cdot V \cdot g = ρ_{воды} \cdot V \cdot g + k_1 \cdot Δl_1 \).

3. Второй случай (второй груз в соленой воде):

• Жесткость пружины \( k_2 = 50 \text{ Н/м} \).
• Растяжение пружины \( Δl_2 = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м} \).
• Плотность соленой воды \( ρ_{соленой_воды} = 1.23 \cdot ρ_{воды} \).
• Плотность второго груза \( ρ_2 = 5 \cdot ρ_1 \).
• Сила тяжести второго груза \( P_2 = m_2 \cdot g = ρ_2 \cdot V \cdot g = 5 \cdot ρ_1 \cdot V \cdot g \).
• Сила Архимеда \( F_{A2} = ρ_{соленой_воды} \cdot V \cdot g = 1.23 \cdot ρ_{воды} \cdot V \cdot g \).
• Сила упругости \( F_{упр2} = k_2 \cdot Δl_2 \).
• В состоянии равновесия: \( P_2 = F_{A2} + F_{упр2} \).
• \( 5 \cdot ρ_1 \cdot V \cdot g = 1.23 \cdot ρ_{воды} \cdot V \cdot g + k_2 \cdot Δl_2 \).

4. Выразим неизвестные из уравнений:

Из уравнения для первого случая:

• \( ρ_1 \cdot V \cdot g = ρ_{воды} \cdot V \cdot g + k_1 \cdot Δl_1 \)

Из уравнения для второго случая:

• \( 5 \cdot (ρ_{воды} \cdot V \cdot g + k_1 \cdot Δl_1) = 1.23 \cdot ρ_{воды} \cdot V \cdot g + k_2 \cdot Δl_2 \)
• \( 5 \cdot ρ_{воды} \cdot V \cdot g + 5 \cdot k_1 \cdot Δl_1 = 1.23 \cdot ρ_{воды} \cdot V \cdot g + k_2 \cdot Δl_2 \)

5. Подставим числовые значения и решим систему:

• \( V = 0.0001 \text{ м}^3 \)
• \( g = 10 \text{ м/с}^2 \)
• \( Δl_1 = 0.25 \text{ м} \)
• \( k_2 = 50 \text{ Н/м} \)
• \( Δl_2 = 0.1 \text{ м} \)
• \( k_1 \) — искомая величина.

Обозначим \( X = ρ_{воды} \cdot V \cdot g = ρ_{воды} \cdot 0.0001 \text{ м}^3 \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 0.001 \cdot ρ_{воды} \).

Первое уравнение:

• \( ρ_1 \cdot V \cdot g = X + k_1 \cdot 0.25 \)

Второе уравнение:

• \( 5 \cdot (ρ_1 \cdot V \cdot g) = 1.23 \cdot X + 50 \text{ Н/м} \cdot 0.1 \text{ м} \)
• \( 5 \cdot (ρ_1 \cdot V \cdot g) = 1.23 \cdot X + 5 \)

Подставим \( ρ_1 \cdot V \cdot g = X + k_1 \cdot 0.25 \) во второе уравнение:

• \( 5 \cdot (X + k_1 \cdot 0.25) = 1.23 \cdot X + 5 \)
• \( 5X + 1.25 k_1 = 1.23 X + 5 \)
• \( 3.77 X = 5 - 1.25 k_1 \)

Нам нужно найти \( ρ_{воды} \). Из таблицы плотностей, плотность воды \( ρ_{воды} = 1000 \text{ кг/м}^3 \).

• \( X = 0.001 \cdot 1000 = 1 \text{ Н} \).

Теперь подставим значение \( X \) в уравнение \( 3.77 X = 5 - 1.25 k_1 \):

• \( 3.77 \cdot 1 = 5 - 1.25 k_1 \)
• \( 3.77 = 5 - 1.25 k_1 \)
• \( 1.25 k_1 = 5 - 3.77 \)
• \( 1.25 k_1 = 1.23 \)
• \( k_1 = \frac{1.23}{1.25} = 0.984 \text{ Н/м} \)

Ответ: Жесткость первой пружины равна 0.984 Н/м.