Мальчик запускает в море плот из парафина, имеющий форму параллелепипеда. Когда он запустил плот в первый раз, осадка оказалась равной 5см. Во второй же раз, он решил к плоту прикрепить по углам плота по одному воздушному шарику, наполненному гелием. Чтобы плот не улетел, он поставил в его центр медный груз объемом 5 сантилитров. В результате этого, осадка суда оказалась неизменной. Чему равны диаметры шариков?

Решение:

Задача решается с помощью условия плавания тел. По условию, осадка плота не изменилась, это значит, что сила Архимеда, действующая на плот, осталась прежней. Это означает, что общий вес плота с грузом и гелием равен весу вытесненной жидкости.

1. Случай без шариков:

• Плот плавает, значит, сила тяжести плота равна силе Архимеда: \( P_{плота} = F_{A1} \).
• \( P_{плота} = m_{плота} \cdot g \), где \( m_{плота} \) — масса плота.
• \( F_{A1} = ρ_{воды} \cdot g \cdot V_{погруженной_части1} \), где \( ρ_{воды} \) — плотность воды, \( V_{погруженной_части1} \) — объем погруженной части плота (5 см).
• \( m_{плота} \cdot g = ρ_{воды} \cdot g \cdot V_{погруженной_части1} \)
• \( m_{плота} = ρ_{воды} \cdot V_{погруженной_части1} \)

2. Случай с шариками и грузом:

• Общий вес: \( P_{плота} + P_{груза} = F_{A2} + P_{гелия} \).
• \( P_{груза} = m_{груза} \cdot g \). \( m_{груза} = ρ_{меди} \cdot V_{груза} \).
• \( P_{гелия} = m_{гелия} \cdot g = ρ_{гелия} \cdot V_{шарика} \cdot g \).
• \( F_{A2} = ρ_{воды} \cdot g \cdot V_{погруженной_части2} \).
• Так как осадка не изменилась, \( V_{погруженной_части2} = V_{погруженной_части1} \).
• Следовательно, \( F_{A2} = F_{A1} \).
• Условие плавания: \( m_{плота} \cdot g + m_{груза} \cdot g = F_{A1} + m_{гелия} \cdot g \).
• Подставляя \( m_{плота} \cdot g = F_{A1} \), получаем: \( F_{A1} + m_{груза} \cdot g = F_{A1} + m_{гелия} \cdot g \).
• Это означает, что \( m_{груза} \cdot g = m_{гелия} \cdot g \), то есть \( m_{груза} = m_{гелия} \).

3. Находим массу груза:

• \( m_{груза} = ρ_{меди} \cdot V_{груза} \).
• Плотность меди \( ρ_{меди} \) ≈ 8.9 г/см³.
• Объем груза \( V_{груза} = 5 \text{ см}^3 \).
• \( m_{груза} = 8.9 \text{ г/см}^3 \cdot 5 \text{ см}^3 = 44.5 \text{ г} \).

4. Находим массу гелия в одном шарике:

• Масса гелия в одном шарике равна массе груза: \( m_{гелия} = 44.5 \text{ г} \).
• Для упрощения задачи предположим, что шарик имеет сферическую форму.
• Плотность гелия \( ρ_{гелия} \) ≈ 0.1786 г/л. Переведем в г/см³: \( 0.1786 \text{ г/л} = 0.0001786 \text{ г/см}^3 \).
• Объем гелия в одном шарике: \( V_{гелия} = \frac{m_{гелия}}{ρ_{гелия}} = \frac{44.5 \text{ г}}{0.0001786 \text{ г/см}^3} ≈ 249159.5 \text{ см}^3 \).

5. Находим диаметр шарика:

• Объем сферы \( V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot R^3 \), где \( R \) — радиус шарика.
• \( R^3 = \frac{3V}{4π} = \frac{3 \cdot 249159.5 \text{ см}^3}{4 \cdot 3.14159} ≈ 59488.5 \text{ см}^3 \).
• \( R ≈ ∛{59488.5 \text{ см}^3} ≈ 39.03 \text{ см} \).
• Диаметр шарика \( D = 2R ≈ 2 \cdot 39.03 \text{ см} ≈ 78.06 \text{ см} \).

Примечание: Условие задачи подразумевает, что суммарный вес гелия в шариках равен весу медного груза. Для реальных шариков объемом 5 см³ (что очень мало) вес гелия будет ничтожен. Здесь есть расхождение между условием и реальными физическими свойствами. Поэтому приведена расчетная величина диаметра, исходя из условия задачи.

Ответ: Диаметр каждого шарика примерно 78.06 см.