Как изменяется в каждом из промежутков (–∞; 0) и (0; +∞) функция y = k/x? Рассмотрите случаи k > 0 и k < 0.

Решение:

Функция \( y = \frac{k}{x} \) является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола.

Случай 1: \( k > 0 \)

• Промежуток \( (-\infty; 0) \): При \( x \), стремящемся к \( -\infty \), \( y \) стремится к \( 0 \) (сверху, т.е. \( y > 0 \)). При \( x \), стремящемся к \( 0 \) (с отрицательной стороны), \( y \) стремится к \( -\infty \). В этом промежутке функция убывает.
• Промежуток \( (0; +\infty) \): При \( x \), стремящемся к \( 0 \) (с положительной стороны), \( y \) стремится к \( +\infty \). При \( x \), стремящемся к \( +\infty \), \( y \) стремится к \( 0 \) (сверху, т.е. \( y > 0 \)). В этом промежутке функция убывает.

Случай 2: \( k < 0 \)

• Промежуток \( (-\infty; 0) \): При \( x \), стремящемся к \( -\infty \), \( y \) стремится к \( 0 \) (снизу, т.е. \( y < 0 \)). При \( x \), стремящемся к \( 0 \) (с отрицательной стороны), \( y \) стремится к \( +\infty \). В этом промежутке функция возрастает.
• Промежуток \( (0; +\infty) \): При \( x \), стремящемся к \( 0 \) (с положительной стороны), \( y \) стремится к \( -\infty \). При \( x \), стремящемся к \( +\infty \), \( y \) стремится к \( 0 \) (снизу, т.е. \( y < 0 \)). В этом промежутке функция возрастает.

Итог:

При \( k > 0 \) функция \( y = \frac{k}{x} \) убывает на интервалах \( (-\infty; 0) \) и \( (0; +\infty) \).

При \( k < 0 \) функция \( y = \frac{k}{x} \) возрастает на интервалах \( (-\infty; 0) \) и \( (0; +\infty) \).