Приведите примеры возрастающей и убывающей линейной функции. Сформулируйте и докажите соответствующее свойство линейной функции.

Возрастающая линейная функция: $$y = 2x + 1$$. При увеличении $$x$$, значение $$y$$ также увеличивается.

Убывающая линейная функция: $$y = -x + 3$$. При увеличении $$x$$, значение $$y$$ уменьшается.

Свойство линейной функции: Линейная функция вида $$y = kx + b$$ является возрастающей, если $$k > 0$$, и убывающей, если $$k < 0$$. Если $$k = 0$$, то функция является постоянной.

Доказательство: Рассмотрим два значения $$x_1$$ и $$x_2$$, такие что $$x_1 < x_2$$. Тогда для возрастающей функции должно выполняться $$y(x_1) < y(x_2)$$, а для убывающей – $$y(x_1) > y(x_2)$$.

Пусть $$y = kx + b$$. Тогда $$y(x_2) - y(x_1) = (kx_2 + b) - (kx_1 + b) = k(x_2 - x_1)$$. Поскольку $$x_1 < x_2$$, то $$x_2 - x_1 > 0$$.

Если $$k > 0$$, то $$k(x_2 - x_1) > 0$$, следовательно, $$y(x_2) > y(x_1)$$, и функция возрастает.

Если $$k < 0$$, то $$k(x_2 - x_1) < 0$$, следовательно, $$y(x_2) < y(x_1)$$, и функция убывает.