15. Какие из следующих утверждений верны? 1) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8. 2) Любые два равнобедренных треугольника подобны. 3) Любые два прямоугольных треугольника подобны. 4) Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным. Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение: 1) Проверим первое утверждение, используя теорему Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$, где $$a$$ и $$b$$ - катеты, $$c$$ - гипотенуза. В нашем случае, $$6^2 + b^2 = 10^2$$, то есть $$36 + b^2 = 100$$, следовательно, $$b^2 = 64$$, и $$b = 8$$. Утверждение верно. 2) Второе утверждение неверно. Равнобедренные треугольники могут иметь разные углы, и тогда они не будут подобны. 3) Третье утверждение также неверно. Прямоугольные треугольники должны иметь равные острые углы, чтобы быть подобными. 4) Проверим, является ли треугольник со сторонами 3, 4 и 5 тупоугольным. Так как $$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$$, то это прямоугольный треугольник, а не тупоугольный. Следовательно, утверждение неверно. Ответ: 1