Какие из следующих утверждений верны? 1) Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. 2) Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. 3) Существует прямоугольный треугольник со сторонами 6, 7, 8.

Разберем каждое утверждение: 1) **Утверждение 1: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.** *Это утверждение верно. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой, и пусть катет AC равен половине гипотенузы AB, то есть \(AC = \frac{1}{2}AB\). Тогда \(\sin(B) = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{2}\). Угол, синус которого равен \(\frac{1}{2}\), равен 30 градусам. Следовательно, \(\angle B = 30^\circ\). 2) **Утверждение 2: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.** *Это утверждение также верно. Это классическая теорема о вписанных углах. 3) **Утверждение 3: Существует прямоугольный треугольник со сторонами 6, 7, 8.** *Проверим, может ли такой треугольник быть прямоугольным, используя теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (самой длинной стороны) должен быть равен сумме квадратов двух других сторон. Если 8 - гипотенуза, то должно выполняться условие \(6^2 + 7^2 = 8^2\). *Проверим: \(6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85\), а \(8^2 = 64\). Так как \(85
eq 64\), то треугольник со сторонами 6, 7, 8 не является прямоугольным. Следовательно, это утверждение неверно. Таким образом, верны утверждения 1 и 2. **Ответ: 12**