Какие из следующих утверждений верны? 1) Любые два прямоугольных треугольника подобны. 2) Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов. 3) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8. 4) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Разберем каждое утверждение: 1) Любые два прямоугольных треугольника подобны. *Это утверждение неверно.* Прямоугольные треугольники подобны, если у них равны острые углы. Если углы разные, то треугольники не подобны. 2) Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов. *Это утверждение неверно.* По теореме синусов, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, а не косинусам. 3) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8. *Это утверждение верно.* По теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника с катетами $$a$$ и $$b$$ и гипотенузой $$c$$ выполняется равенство $$a^2 + b^2 = c^2$$. Если катет $$a = 6$$ и гипотенуза $$c = 10$$, то: $$6^2 + b^2 = 10^2$$ $$36 + b^2 = 100$$ $$b^2 = 100 - 36$$ $$b^2 = 64$$ $$b = \sqrt{64} = 8$$ Второй катет действительно равен 8. 4) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. *Это утверждение верно.* Это теорема косинусов: $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)$$ Ответ: Верные утверждения 3 и 4.