1. Какие из следующих утверждений верны? 1) Любые две прямые имеют не менее одной общей точки. 2) Гипотенуза прямоугольного треугольника меньше суммы катетов. 3) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны по 90°, то эти две прямые параллельны. 4) Через любую точку проходит более одной прямой. 2. В треугольнике МНК, угол К=37°, угол М = 69°, НР – биссектриса треугольника. Докажите, что МР<РК. 3. Сформулируйте и докажите свойство углов равнобедренного треугольника.

1. Утверждение 1: "Любые две прямые имеют не менее одной общей точки." Это неверно. Прямые могут быть параллельными и не иметь общих точек.

2. Утверждение 2: "Гипотенуза прямоугольного треугольника меньше суммы катетов." Это верно. В прямоугольном треугольнике гипотенуза является наибольшей стороной, и её длина всегда меньше суммы длин двух других сторон (катетов).

3. Утверждение 3: "Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны по 90°, то эти две прямые параллельны." Это неверно. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Равенство 90° не является необходимым условием.

4. Утверждение 4: "Через любую точку проходит более одной прямой." Это верно. Через любую точку на плоскости можно провести бесконечное множество прямых.

В треугольнике MНК, ∠K = 37°, ∠M = 69°, НР – биссектриса треугольника. Нужно доказать, что MP < PK.

1. Найдем ∠H: ∠H = 180° - ∠K - ∠M = 180° - 37° - 69° = 74°.

2. Т.к. HP - биссектриса ∠H, то ∠KHP = ∠MHP = ∠H / 2 = 74° / 2 = 37°.

3. Рассмотрим треугольник KHP: ∠K = 37°, ∠KHP = 37°. Следовательно, треугольник KHP - равнобедренный с KH = HP.

4. Рассмотрим треугольник MHP: ∠M = 69°, ∠MHP = 37°. Следовательно, ∠HMP > ∠KHP.

5. В треугольнике MHP против большего угла лежит большая сторона, значит, MP < HP.

6. Так как KH = HP и MP < HP, то MP < PK (т.к. PK = KH).

Свойство углов равнобедренного треугольника:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Нужно доказать, что ∠A = ∠C.

Проведем биссектрису BD к углу B. Рассмотрим треугольники ABD и CBD:

• AB = BC (по условию)
• ∠ABD = ∠CBD (т.к. BD - биссектриса)
• BD - общая сторона

Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть ∠A = ∠C.