Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Какие утверждения верны? Задача Коши у" + у = 0, y(0) = 0, у'(0) = 2 имеет решение у = cosx Задача Коши у" + у = 0, y(0) = 0, у'(0) = 2 имеет решение у = 2sinx Задача Коши у" - у = 0, y(0) = 0, у'(0) = 2 имеет решение у = ex - e-x Задача Коши у" - у = 0, y(0) = 0, у'(0) = 2 имеет решение у = 2cosx (В ответе укажите два правильных варианта).
Ответ:
Чтобы решить эту задачу, нам нужно проверить, какие из предложенных функций являются решениями соответствующих дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Начнем с первого варианта:
Вариант a: Задача Коши $$y'' + y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 2$$ имеет решение $$y = \cos x$$.
Проверим, удовлетворяет ли функция $$y = \cos x$$ данному уравнению и начальным условиям.
$$y = \cos x$$
$$y' = -\sin x$$
$$y'' = -\cos x$$
Подставим в уравнение:
$$-\cos x + \cos x = 0$$. Уравнение выполняется.
Теперь проверим начальные условия:
$$y(0) = \cos(0) = 1
eq 0$$. Начальное условие не выполняется. Значит, вариант a неверный.
eq 0$$. Начальное условие не выполняется. Значит, вариант a неверный.
Вариант b: Задача Коши $$y'' + y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 2$$ имеет решение $$y = 2\sin x$$.
Проверим, удовлетворяет ли функция $$y = 2\sin x$$ данному уравнению и начальным условиям.
$$y = 2\sin x$$
$$y' = 2\cos x$$
$$y'' = -2\sin x$$
Подставим в уравнение:
$$-2\sin x + 2\sin x = 0$$. Уравнение выполняется.
Теперь проверим начальные условия:
$$y(0) = 2\sin(0) = 0$$. Первое начальное условие выполняется.
$$y'(0) = 2\cos(0) = 2$$. Второе начальное условие выполняется. Значит, вариант b верный.
Вариант c: Задача Коши $$y'' - y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 2$$ имеет решение $$y = e^x - e^{-x}$$.
Проверим, удовлетворяет ли функция $$y = e^x - e^{-x}$$ данному уравнению и начальным условиям.
$$y = e^x - e^{-x}$$
$$y' = e^x + e^{-x}$$
$$y'' = e^x - e^{-x}$$
Подставим в уравнение:
$$e^x - e^{-x} - (e^x - e^{-x}) = 0$$. Уравнение выполняется.
Теперь проверим начальные условия:
$$y(0) = e^0 - e^{-0} = 1 - 1 = 0$$. Первое начальное условие выполняется.
$$y'(0) = e^0 + e^{-0} = 1 + 1 = 2$$. Второе начальное условие выполняется. Значит, вариант c верный.
Вариант d: Задача Коши $$y'' - y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 2$$ имеет решение $$y = 2\cos x$$.
Проверим, удовлетворяет ли функция $$y = 2\cos x$$ данному уравнению и начальным условиям.
$$y = 2\cos x$$
$$y' = -2\sin x$$
$$y'' = -2\cos x$$
Подставим в уравнение:
$$-2\cos x - 2\cos x = -4\cos x
eq 0$$. Уравнение не выполняется. Значит, вариант d неверный.
eq 0$$. Уравнение не выполняется. Значит, вариант d неверный.
Итак, верные варианты: b и c.
Ответ: b, c
Похожие
