Какое из чисел а, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет условию 7E₁₆ < a < 200₈?

Решение:

Сначала переведём границы интервала в десятичную систему счисления.

Левая граница:

\( 7E_{16} \) = \( 7 \cdot 16^1 + E \cdot 16^0 \) = \( 7 \cdot 16 + 14 \cdot 1 \) = \( 112 + 14 \) = \( 126_{10} \)

Правая граница:

\( 200_8 \) = \( 2 \cdot 8^2 + 0 \cdot 8^1 + 0 \cdot 8^0 \) = \( 2 \cdot 64 + 0 + 0 \) = \( 128_{10} \)

Итак, нам нужно найти двоичное число \( a \), такое что \( 126_{10} < a < 128_{10} \). Единственное целое число в этом интервале — это \( 127_{10} \).

Теперь переведём \( 127_{10} \) в двоичную систему счисления:

127 ÷ 2 = 63 (остаток 1)

63 ÷ 2 = 31 (остаток 1)

31 ÷ 2 = 15 (остаток 1)

15 ÷ 2 = 7 (остаток 1)

7 ÷ 2 = 3 (остаток 1)

3 ÷ 2 = 1 (остаток 1)

1 ÷ 2 = 0 (остаток 1)

Записываем остатки в обратном порядке: \( 1111111_2 \). Это число отсутствует в списке вариантов.

Переведём предложенные двоичные числа в десятичную систему:

1. \( 1111011_2 \) = \( 1 · 2^6 + 1 · 2^5 + 1 · 2^4 + 1 · 2^3 + 0 · 2^2 + 1 · 2^1 + 1 · 2^0 \) = \( 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 \) = \( 123_{10} \). Это число меньше 126.
2. \( 1111101_2 \) = \( 1 · 2^6 + 1 · 2^5 + 1 · 2^4 + 1 · 2^3 + 1 · 2^2 + 0 · 2^1 + 1 · 2^0 \) = \( 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 0 + 1 \) = \( 125_{10} \). Это число меньше 126.
3. \( 1111111_2 \) = \( 1 · 2^6 + 1 · 2^5 + 1 · 2^4 + 1 · 2^3 + 1 · 2^2 + 1 · 2^1 + 1 · 2^0 \) = \( 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 \) = \( 127_{10} \). Это число находится в интервале \( 126 < 127 < 128 \).
4. \( 10000011_2 \) = \( 1 · 2^7 + 0 · 2^6 + 0 · 2^5 + 0 · 2^4 + 0 · 2^3 + 0 · 2^2 + 1 · 2^1 + 1 · 2^0 \) = \( 128 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2 + 1 \) = \( 131_{10} \). Это число больше 128.

Ответ: 3) 1111111₂