7. Какое наименьшее число ребер придется пройти дважды, чтобы обойти все ребра икосаэдра и вернуться в исходную вершину?

Икосаэдр имеет 30 ребер. Чтобы обойти все ребра и вернуться в исходную вершину, необходимо пройти все ребра хотя бы один раз. Если эйлеров цикл существует, то достаточно пройти каждое ребро ровно один раз. Однако, в икосаэдре не все вершины имеют четную степень (количество ребер, сходящихся в вершине), поэтому эйлерова цикла не существует. Число вершин с нечетной степенью должно быть четным. В икосаэдре 12 вершин, и каждая вершина имеет степень 5 (нечетная). Чтобы получить эйлеров цикл, необходимо "удвоить" минимальное количество ребер так, чтобы все вершины имели четную степень. Так как все 12 вершин имеют нечетную степень, нужно добавить минимум ребер, чтобы сделать все степени четными. Минимальное число ребер, которое нужно пройти дважды, чтобы обойти все ребра икосаэдра и вернуться в исходную вершину - 6.