19 Какое наименьшее число рёбер придется пройти дважды, чтобы обойти все рёбра додекаэдра и вернуться в исходную вершину?

Ответ: 10

Чтобы обойти все рёбра додекаэдра и вернуться в исходную вершину, необходимо пройти по каждому ребру додекаэдра хотя бы один раз. У додекаэдра 20 вершин, и из каждой вершины выходит 3 ребра. Это означает, что в каждой вершине сходится нечетное количество ребер.

Чтобы можно было пройти по всем ребрам и вернуться в исходную вершину, необходимо, чтобы количество вершин, из которых выходит нечетное число ребер, было четным. В данном случае у нас 20 таких вершин, поэтому нам нужно продублировать некоторые ребра, чтобы сделать количество нечетных вершин четным.

Чтобы минимизировать количество рёбер, которые нужно пройти дважды, необходимо добавить к каждой вершине по одному ребру. Так как у додекаэдра 20 вершин, то нужно добавить 10 ребер (каждое ребро соединяет две вершины). Таким образом, наименьшее число рёбер, которые придется пройти дважды, равно 10.

Ответ: 10