Каково взаимное расположение прямых: 1) АА₁ и ВС; 2) А₁С₁ и ВС; 3) EF и АС, где Е∈ AB₁ (AE : EB₁ = 1 : 2) и F∈ CB₁ (CF: FB₁ = 2 : 1)? Дайте обоснование.

Ответ:

• 1) Прямые АА₁ и ВС перпендикулярны и скрещивающиеся. Обоснование: АА₁ перпендикулярна плоскости основания АВС, следовательно, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности, ВС. Так как АА₁ и ВС не лежат в одной плоскости, они скрещивающиеся.
• 2) Прямые А₁С₁ и ВС параллельны. Обоснование: А₁С₁ параллельна АС, так как А₁В₁С₁ — это верхнее основание призмы, а АС и А₁С₁ лежат в параллельных плоскостях, следовательно, А₁С₁ параллельна плоскости АВС. АС параллельна ВС, следовательно, и А₁С₁ тоже параллельна ВС.
• 3) Прямые EF и АС параллельны. Обоснование: Рассмотрим треугольник АВ₁С₁. По условию AE : EB₁ = 1 : 2 и CF : FB₁ = 2 : 1. Следовательно, можно применить теорему о пропорциональных отрезках (теорема Фалеса наоборот), согласно которой EF || AC₁. Так как АС₁ параллельна АС, то и EF параллельна АС.