3 Какую фигуру задаёт множество решений системы неравенств \begin{cases} x ≥ 0, y ≤ 0, 2x - 3y < 6? \end{cases}

Система неравенств задаёт фигуру, которая является областью на координатной плоскости, ограниченной заданными условиями.

1. $$x \ge 0$$ - это область справа от оси Oy (включая саму ось).
2. $$y \le 0$$ - это область ниже оси Ox (включая саму ось).
3. $$2x - 3y < 6$$ Преобразуем неравенство к виду, удобному для построения графика: $$-3y < -2x + 6$$ $$y > \frac{2}{3}x - 2$$ Строим прямую $$y = \frac{2}{3}x - 2$$. Прямая будет пунктирной, так как неравенство строгое. Теперь определим область, удовлетворяющую неравенству. Возьмем точку (0; 0) и подставим в неравенство: $$0 > \frac{2}{3} \cdot 0 - 2$$ $$0 > -2$$ Это верно, значит, область выше прямой подходит.

Фигура, заданная системой неравенств, - это область, находящаяся справа от оси Oy, ниже оси Ox и выше прямой $$y = \frac{2}{3}x - 2$$. Эта область представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и прямой.

Чтобы найти площадь этого треугольника, определим точки пересечения прямой с осями координат:

• Пересечение с осью Ox (y = 0): $$0 = \frac{2}{3}x - 2$$ $$\frac{2}{3}x = 2$$ $$x = 3$$ Точка (3; 0).
• Пересечение с осью Oy (x = 0): $$y = \frac{2}{3} \cdot 0 - 2$$ $$y = -2$$ Точка (0; -2).

Треугольник образован точками (0; 0), (3; 0) и (0; -2). Длина основания равна 3, высота равна 2.

Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высоту = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$$

Ответ: Фигура - треугольник, площадь равна 3.