6. Карлсон ест варенье вдвое быстрее, чем Малыш, а торт он ест втрое быстрее, чем Малыш. Однажды они съели банку варенья и торт. Карлсон начал с торта, а Малыш с варенья. Покончив с тортом, Карлсон помог Малышу доесть варенье, и на всё это у них ушло два часа. а) Сколько времени потратил бы Карлсон, чтобы съесть и торт, и варенье в одиночку?

Решение: 1. **Определим переменные:** * Пусть (v) - скорость Малыша в поедании варенья (банки в час). * Тогда скорость Карлсона в поедании варенья (2v). * Пусть (t) - скорость Малыша в поедании торта (торта в час). * Тогда скорость Карлсона в поедании торта (3t). 2. **Анализ условия задачи:** * Они ели варенье и торт вместе за 2 часа. Карлсон начал есть торт, а Малыш - варенье. После того как Карлсон съел торт, он помогал Малышу доесть варенье. 3. **Составим уравнения:** * Пусть (x) - время, которое Карлсон потратил на поедание торта. Тогда (3tx = 1) (так как Карлсон съел один торт). * (x = rac{1}{3t}) * За время (x) Малыш съел (vx) варенья. Осталось (1 - vx) варенья. * Карлсон и Малыш ели оставшееся варенье вместе, их общая скорость (2v + v = 3v). * Время, которое они потратили на доедание варенья (rac{1 - vx}{3v}). * Общее время: (x + rac{1 - vx}{3v} = 2) 4. **Решение уравнения:** * Подставим (x = rac{1}{3t}) в уравнение: (rac{1}{3t} + rac{1 - v(rac{1}{3t})}{3v} = 2) (rac{1}{3t} + rac{1 - rac{v}{3t}}{3v} = 2) (rac{1}{3t} + rac{1}{3v} - rac{1}{9t} = 2) (rac{3}{9t} + rac{3}{9v} - rac{1}{9t} = 2) (rac{2}{9t} + rac{3}{9v} = 2) (2v + 3t = 18vt) 5. **Вопрос: Сколько времени потратил бы Карлсон, чтобы съесть и торт, и варенье в одиночку?** * Время, которое Карлсон потратил бы на торт: (rac{1}{3t}). * Время, которое Карлсон потратил бы на варенье: (rac{1}{2v}). * Общее время: (T = rac{1}{3t} + rac{1}{2v}) 6. **Из уравнения (2v + 3t = 18vt) выразим (t) через (v):** * (3t = 18vt - 2v) * (t(3 - 18v) = -2v) * (t = rac{-2v}{3 - 18v} = rac{2v}{18v - 3}) 7. **Подставим (t) в уравнение для (T):** * (T = rac{1}{3(rac{2v}{18v - 3})} + rac{1}{2v}) * (T = rac{18v - 3}{6v} + rac{1}{2v}) * (T = rac{18v - 3 + 3}{6v}) * (T = rac{18v}{6v} = 3) **Ответ:** Карлсон потратил бы 3 часа, чтобы съесть и торт, и варенье в одиночку.