6. Карлсон ест варенье вдвое быстрее, чем Малыш, а торт он ест втрое быстрее, чем Малыш. Однажды они съели банку варенья и торт. Карлсон начал с торта, а Малыш с варенья. Покончив с тортом, Карлсон помог Малышу доесть варенье, и на всё это у них ушло два часа. а) Сколько времени потратил бы Карлсон, чтобы съесть и торт, и варенье в одиночку? б) В другой раз они съели такую же банку варенья и такой же торт, но Малыш ел торт, а Карлсон начал с варенья. Съев его, Карлсон помог Малышу доесть торт. За какое время они управились на этот раз?

Привет, ребята! Давайте разберем эту интересную задачу. **а) Сколько времени потратил бы Карлсон, чтобы съесть и торт, и варенье в одиночку?** Чтобы решить эту задачу, нам сначала нужно понять, как они ели вместе, а потом оценить, сколько времени потребовалось бы Карлсону одному. Предположим, что: * Время, которое Малыш тратит на варенье, равно $$x$$ часов. * Время, которое Малыш тратит на торт, равно $$y$$ часов. Тогда, поскольку Карлсон ест варенье вдвое быстрее Малыша, он тратит на варенье $$\frac{x}{2}$$ часов. А так как Карлсон ест торт втрое быстрее Малыша, он тратит на торт $$\frac{y}{3}$$ часов. По условию задачи, Карлсон начал есть торт, а Малыш - варенье. Когда Карлсон доел торт (за $$\frac{y}{3}$$ часа), он помог Малышу доесть варенье. Так как они вместе потратили 2 часа, мы можем сказать, что Малыш ел варенье $$\frac{y}{3}$$ часа, пока Карлсон ел торт, а затем они вместе доели варенье за оставшееся время. Пусть $$z$$ - доля варенья, которую съел Малыш за время, пока Карлсон ел торт. Тогда $$z = \frac{\frac{y}{3}}{x} = \frac{y}{3x}$$. Оставшуюся долю варенья $$(1 - z)$$ они ели вместе. Скорость Малыша при поедании варенья равна $$\frac{1}{x}$$ (банки/час), а скорость Карлсона - $$\frac{2}{x}$$ (банки/час). Их общая скорость равна $$\frac{1}{x} + \frac{2}{x} = \frac{3}{x}$$ (банки/час). Время, которое они потратили на поедание оставшейся части варенья, равно $$\frac{1-z}{\frac{3}{x}} = \frac{x(1-z)}{3}$$. Суммарное время равно 2 часа, следовательно: $$\frac{y}{3} + \frac{x(1 - \frac{y}{3x})}{3} = 2$$. $$\frac{y}{3} + \frac{x - \frac{y}{3}}{3} = 2$$ $$y + x - \frac{y}{3} = 6$$ $$x + \frac{2}{3}y = 6$$ (1) Теперь рассмотрим случай, когда Карлсон съедает все один. Время, которое Карлсон тратит на торт и варенье, равно $$\frac{x}{2} + \frac{y}{3}$$. Нам нужно выразить это через уравнение (1). Нужно решить задачу, используя более логичный подход: Общее время: 2 часа. Карлсон ест торт в 3 раза быстрее, Малыш ест варенье в 2 раза медленнее. Карлсон помог Малышу. Предположим, что Карлсон съел торт за время T. Тогда Малыш ест варенье за время 2T. Вместе они ели 2 - Т часов. Доля варенья, что осталась - \frac{2-T}{2T} Карлсон и Малыш вместе ели варенье со скоростью 3/2Т. $$\frac{\frac{2-T}{2T}}{\frac{3}{2T}} = 2-T$$ То есть 2-Т + T = 2. $$\frac{x}{2} + \frac{y}{3}$$ - время карлсона. Карлсон ест торт за \frac{1}{3} времени Малыша, варенье за \frac{1}{2} времени малыша Карлсон один: T/3 + V/2 = ? Вместе: T/3 + V = 2 Карлсон: 2V/3 + V =2 5V/3 = 2 V = 6/5 Общее время Карлсона = (6/5)/2 + T/3 T/3 = 2 - 6/5 = 4/5 T = 12/5 (6/5)/2 + (12/5)/3 = 3/5 + 4/5 = 7/5 часа = 1 час 24 минуты Ответ: 1 час 24 минуты. **б) В другой раз они съели такую же банку варенья и такой же торт, но Малыш ел торт, а Карлсон начал с варенья. Съев его, Карлсон помог Малышу доесть торт. За какое время они управились на этот раз?** Малыш ел торт, Карлсон ел варенье. Время, которое Карлсон тратит на варенье - V/2 Время, которое Малыш тратит на торт - Т Доля торта, что осталась \frac{V/2}{T} = (T-V/2)/T Доля, которую они вместе ели (Малыш + Карлсон) со скоростью T + T/3 = 4T/3 (Т-V/2)/T = 4Т/3 = V/2 + (Т-V/2)/ 4Т/3 V/2 + (Т-V/2)*3/4 = Подставляем T = 12/5, V = 6/5: 3/5 + (12/5 - 3/5)*3/4 = 3/5 + (9/5)*3/4 = 3/5 + 27/20 = 12/20 + 27/20 = 39/20 = 1.95 = 1 час 57 минут **Ответ:** a) 1 час 24 минуты b) 1 час 57 минут