47 Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 12 см и 32 см. Ее наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картинка с окантовкой, равна 684 см². Какова ширина окантовки? Ответ дайте в сантиметрах. Ответ

Пусть x – ширина окантовки. Тогда размеры картинки с окантовкой будут (12 + 2x) и (32 + 2x). Площадь картинки с окантовкой равна 684 см², поэтому:

\[ (12 + 2x)(32 + 2x) = 684 \]

Раскрываем скобки:

\[ 384 + 24x + 64x + 4x^2 = 684 \]

Приводим подобные члены и получаем квадратное уравнение:

\[ 4x^2 + 88x - 300 = 0 \]

Делим уравнение на 4 для упрощения:

\[ x^2 + 22x - 75 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант (D) равен:

\[ D = 22^2 - 4(1)(-75) = 484 + 300 = 784 \]

Корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{D} = \sqrt{784} = 28 \]

Находим корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-22 + 28}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-22 - 28}{2} = \frac{-50}{2} = -25 \]

Так как ширина не может быть отрицательной, выбираем положительное значение:

\[ x = 3 \]

Ширина окантовки равна 3 см.