Карточка 3. «Производная». Найдите производную функции. 1) x-2-ex+3 2) sin x x 3) 2x x-9 4) ln (3x+1)

1) Найдем производную функции y = x⁻² - eˣ + 3:

Производная суммы/разности равна сумме/разности производных: y' = (x⁻²)' - (eˣ)' + (3)'

(x⁻²)' = -2x⁻³ = -2 / x³

(eˣ)' = eˣ

(3)' = 0

Следовательно, y' = -2 / x³ - eˣ + 0 = -2 / x³ - eˣ

2) Найдем производную функции y = (sin x) / x:

Производная частного: (u/v)' = (u'v - uv') / v²

u = sin x, u' = cos x

v = x, v' = 1

Следовательно, y' = (cos x \( \cdot \) x - sin x \( \cdot \) 1) / x² = (x cos x - sin x) / x²

3) Найдем производную функции y = (2x) / (x - 9):

Производная частного: (u/v)' = (u'v - uv') / v²

u = 2x, u' = 2

v = x - 9, v' = 1

Следовательно, y' = (2 \( \cdot \) (x - 9) - 2x \( \cdot \) 1) / (x - 9)² = (2x - 18 - 2x) / (x - 9)² = -18 / (x - 9)²

4) Найдем производную функции y = ln(3x + 1):

Производная сложной функции: y' = (1 / (3x + 1)) \( \cdot \) (3x + 1)'

(3x + 1)' = 3

Следовательно, y' = 3 / (3x + 1)