Задание 160. Проверьте себя. Карточка 1. «Производная». Найдите производную функции. 1) x² + ex + 2 2) ln x sin x 3) x-5 x+3 4) cos(2x-3)

1) Найдём производную функции y = x² + eˣ + 2:

Производная суммы равна сумме производных: y' = (x²)' + (eˣ)' + (2)'

(x²)' = 2x

(eˣ)' = eˣ

(2)' = 0

Следовательно, y' = 2x + eˣ + 0 = 2x + eˣ

2) Найдём производную функции y = ln(x) \( \cdot \) sin(x):

Производная произведения: (u \( \cdot \) v)' = u' \( \cdot \) v + u \( \cdot \) v'

u = ln(x), u' = 1/x

v = sin(x), v' = cos(x)

Следовательно, y' = (1/x) \( \cdot \) sin(x) + ln(x) \( \cdot \) cos(x) = sin(x)/x + ln(x)cos(x)

3) Найдём производную функции y = (x - 5) / (x + 3):

Производная частного: (u/v)' = (u'v - uv') / v²

u = x - 5, u' = 1

v = x + 3, v' = 1

Следовательно, y' = (1 \( \cdot \) (x + 3) - (x - 5) \( \cdot \) 1) / (x + 3)² = (x + 3 - x + 5) / (x + 3)² = 8 / (x + 3)²

4) Найдём производную функции y = cos(2x - 3):

Производная сложной функции: y' = -sin(2x - 3) \( \cdot \) (2x - 3)'

(2x - 3)' = 2

Следовательно, y' = -2sin(2x - 3)