Карточка 2. Делимость чисел. 1. Разложите на простые множители число 180. 2. Найдите НОД чисел 84 и 126. 3. Найдите НОК чисел 72 и 108. 4. Найдите все делители числа 36, кратные 3. 5. Сократите дробь: 84/126. 6. (творческое). Придумайте задачу про школьные принадлежности (ручки, тетради, карандаши), где нужно найти НОД или НОК. Например: «Карандаши продаются в упаковках по 12 штук, а ластики — по 18 штук. Какое наименьшее одинаковое число карандашей и ластиков нужно купить, чтобы упаковки не остались неполными?» Запишите условие и решите.

Делим 180 на простые числа:

180 = 2 · 90 = 2 · 2 · 45 = 2² · 3² · 5.

Ответ: 180 = 2² · 3² · 5.

Разложим числа на простые множители: 84 = 2² · 3 · 7; 126 = 2 · 3² · 7.

Для НОД берём общие множители в наименьших степенях: НОД(84, 126) = 2 · 3 · 7 = 42.

Ответ: 42.

Разложим числа: 72 = 2³ · 3²; 108 = 2² · 3³.

Для НОК берём все простые множители в наибольших степенях: НОК(72, 108) = 2³ · 3³ = 216.

Ответ: 216.

Делители 36, кратные 3: 3, 6, 9, 12, 18, 36.

Ответ: 3, 6, 9, 12, 18, 36.

НОД(84, 126) = 42. Делим числитель и знаменатель на 42: 84/126 = 2/3.

Ответ: 2/3.

Вариант 1. Ручки продаются в коробках по 8 штук, а карандаши — в коробках по 12 штук. Какое наименьшее одинаковое количество ручек и карандашей можно купить, чтобы коробки не остались неполными?

Ищем НОК(8, 12). Так как 8 = 2³, а 12 = 2² · 3, получаем НОК = 2³ · 3 = 24. Значит, нужно купить по 24 предмета: 3 коробки ручек и 2 коробки карандашей.

Ответ: по 24 предмета.

Вариант 2. В одной пачке 18 тетрадей, а в другой — 30. Какое наибольшее число одинаковых наборов можно составить из всех тетрадей каждой пачки, не оставляя тетрадей?

Ищем НОД(18, 30). Разложим: 18 = 2 · 3², 30 = 2 · 3 · 5. Тогда НОД = 2 · 3 = 6. Можно составить 6 наборов: в каждом будет 3 тетради из первой пачки и 5 из второй.

Ответ: 6 наборов.

Вариант 3. Карандаши упакованы по 10 штук, а ластики — по 15 штук. Какое наименьшее одинаковое количество карандашей и ластиков можно купить, чтобы упаковки не остались неполными?

Ищем НОК(10, 15) = 30. Это 3 упаковки карандашей и 2 упаковки ластиков.

Ответ: по 30 предметов.