Карточка 3, пункт 3: Дан треугольник, стороны которого равны 8 см, 5 см и 7 см. Найдите периметр и площадь треугольника, подобного данному, если коэффициент подобия равен 1/4.

Решение:

Сначала найдем периметр и площадь исходного треугольника. Стороны: a = 8 см, b = 5 см, c = 7 см.

1. Периметр исходного треугольника (P):

• \[ P = a + b + c = 8 + 5 + 7 = 20 \text{ см} \]

2. Площадь исходного треугольника (S): Используем формулу Герона.

• Полупериметр (p): \( p = \frac{P}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ см} \)
• Площадь: \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \)
• \[ S = \sqrt{10(10-8)(10-5)(10-7)} = \sqrt{10 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

3. Периметр подобного треугольника (P'):

• Коэффициент подобия (k) = 1/4.
• \[ P' = P \cdot k = 20 \cdot \frac{1}{4} = 5 \text{ см} \]

4. Площадь подобного треугольника (S'):

• \[ S' = S \cdot k^2 = 10\sqrt{3} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 10\sqrt{3} \cdot \frac{1}{16} = \frac{10\sqrt{3}}{16} = \frac{5\sqrt{3}}{8} \text{ см}^2 \]

Ответ: Периметр подобного треугольника равен 5 см, а площадь равна ⅒⁶⁵√3 / 8 см².