Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 42°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим треугольник OAB. OA и OB — радиусы окружности, поэтому треугольник OAB — равнобедренный.

Касательные в точках A и B пересекаются под углом 42°. Рассмотрим четырёхугольник ACBO, где C — точка пересечения касательных. Углы OAC и OBC равны 90°, так как радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной.

Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°.

\( \angle AOB + \angle OAC + \angle ACB + \angle OBC = 360° \)

\( \angle AOB + 90° + 42° + 90° = 360° \)

\( \angle AOB + 222° = 360° \)

\( \angle AOB = 360° - 222° = 138° \)

В равнобедренном треугольнике OAB углы при основании OA и OB равны.

\( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180° - \angle AOB}{2} \)

\( \angle OBA = \frac{180° - 138°}{2} = \frac{42°}{2} = 21° \)

Угол ABO равен углу OBA.

Ответ: 21.