Касательные в точках А и В к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 72°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Рассмотрим четырехугольник АОВК, где К - точка пересечения касательных. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

2. Так как АВ - касательные, то \( \angle OAK = \angle OBK = 90° \).

3. \( \angle AOB + \angle OAK + \angle OBK + \angle AKB = 360° \)

\( \angle AOB + 90° + 90° + 72° = 360° \)

\( \angle AOB + 252° = 360° \)

\( \angle AOB = 360° - 252° = 108° \)

4. Треугольник АОВ — равнобедренный (ОА = ОВ — радиусы).

5. Сумма углов в треугольнике АОВ равна 180°.

\( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180° \)

\( 2 \angle OBA + 108° = 180° \)

\( 2 \angle OBA = 180° - 108° = 72° \)

\( \angle OBA = \frac{72°}{2} = 36° \)

Ответ: 36