Диагональ равнобедренной трапеции образует с ее основанием угол 45°. Найдите длину высоты трапеции, если ее основания равны 3 и 7.

Пусть основания трапеции равны a = 7 и b = 3. Проведем высоту h из вершины меньшего основания на большее. Большее основание разделится на отрезки (a-b)/2 и (a+b)/2. Отрезки равны (7-3)/2 = 2 и (7+3)/2 = 5. Диагональ образует с большим основанием угол 45°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, отрезком большего основания (равным 5) и диагональю. В этом треугольнике угол при основании равен 45°. Так как сумма углов в треугольнике 180°, то второй острый угол равен 180° - 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник равнобедренный, и высота h равна отрезку большего основания, то есть h = 5.