Диагональ равнобедренной трапеции образует с ее основанием угол 45°. Найдите длину высоты трапеции, если ее основания равны 2 и 5.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD || BC. Основания равны \( BC = 2 \) и \( AD = 5 \). Диагональ AC образует с основанием AD угол 45° (\( \angle CAD = 45° \)).

1. Опустим высоту BH из вершины B на основание AD. Треугольник ABH — прямоугольный.

2. Опустим высоту CK из вершины C на основание AD. Треугольник CKD — прямоугольный.

3. Так как трапеция равнобедренная, то \( AH = KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{5 - 2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \).

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник CKD. \( CK \) — высота трапеции (обозначим её \( h \)).

5. Угол \( \angle CAD = 45° \). В прямоугольном треугольнике ACK, \( \angle ACK = 90° \).

6. Проведем диагональ AC. Угол \( \angle CAD = 45° \).

7. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \( h \), основанием \( KD \) и диагональю \( AC \). Это не совсем верно. Правильнее рассмотреть треугольник ACK, где K - основание высоты, проведенной из C на AD. Тогда \( AK = AD - KD = 5 - 1.5 = 3.5 \).

8. Рассмотрим треугольник ACK. \( CK = h \), \( AK = 3.5 \), \( \angle CAD = 45° \).

9. В прямоугольном треугольнике ACK, \( \tan(\angle CAD) = \frac{CK}{AK} \).

\( \tan(45°) = \frac{h}{3.5} \)

\( 1 = \frac{h}{3.5} \)

\( h = 3.5 \)

Ответ: 3.5