Решение задачи:

Чтобы узнать, какое наибольшее количество гостей можно пригласить, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 16 и 12.

1. Разложим числа 16 и 12 на простые множители:

16 | 2
 8 | 2
 4 | 2
 2 | 2
 1 |

12 | 2
 6 | 2
 3 | 3
 1 |

$$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$$

$$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$$

2. Найдем общие множители и их наименьшие степени:

Общий множитель: 2

Наименьшая степень: 2 (т.е. $$2^2$$)

3. Вычислим НОД:

$$НОД(16, 12) = 2^2 = 4$$

Ответ: Катя может пригласить не более 4 гостей, чтобы разделить печеньки поровну.