Катер движется по течению реки в течение времени t = 57 мин. Известно, что скорость катера в стоячей воде составляет v = 15 км/ч, а скорость течения реки – u = 5 км/ч. 1. Рассчитайте, какое расстояние s пройдёт катер. 2. Рассчитайте абсолютную погрешность \(\Delta s\) расстояния, которое пройдёт катер, если считать, что время движения известно с абсолютной погрешностью 1 мин, скорость течения реки имеет абсолютную погрешность 1 км/ч, скорость катера в стоячей воде известна точно. Кратко поясните вычисления. 3. Можно ли с учётом погрешностей величин утверждать, что катер преодолеет расстояние в 18 км? Свой ответ обоснуйте.

Решение: 1. Для начала, определим скорость катера по течению реки. Скорость по течению равна сумме скорости катера в стоячей воде и скорости течения реки: \(v_{по течению} = v + u = 15 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}\) Теперь переведем время движения из минут в часы: \(t = 57 \text{ мин} = \frac{57}{60} \text{ ч} = 0.95 \text{ ч}\) Рассчитаем расстояние, которое пройдёт катер: \(s = v_{по течению} \cdot t = 20 \text{ км/ч} \cdot 0.95 \text{ ч} = 19 \text{ км}\) Ответ: Расстояние, которое пройдёт катер, составляет 19 км. 2. Определим погрешность расстояния \(\Delta s\). У нас есть погрешность времени \(\Delta t = 1 \text{ мин} = \frac{1}{60} \text{ ч} \approx 0.0167 \text{ ч}\) и погрешность скорости течения реки \(\Delta u = 1 \text{ км/ч}\). Сначала найдем максимальную и минимальную скорости течения: \(v_{по течению max} = (v + \Delta v) + (u + \Delta u) = (15 + 0) + (5 + 1) = 21 \text{ км/ч}\) \(v_{по течению min} = (v - \Delta v) + (u - \Delta u) = (15 - 0) + (5 - 1) = 19 \text{ км/ч}\) Теперь найдем максимальное и минимальное время: \(t_{max} = t + \Delta t = 0.95 + 0.0167 = 0.9667 \text{ ч}\) \(t_{min} = t - \Delta t = 0.95 - 0.0167 = 0.9333 \text{ ч}\) Рассчитаем максимальное и минимальное расстояние: \(s_{max} = v_{по течению max} \cdot t_{max} = 21 \text{ км/ч} \cdot 0.9667 \text{ ч} \approx 20.30 \text{ км}\) \(s_{min} = v_{по течению min} \cdot t_{min} = 19 \text{ км/ч} \cdot 0.9333 \text{ ч} \approx 17.73 \text{ км}\) Найдем погрешность расстояния как полуразность максимального и минимального расстояния: \(\Delta s = \frac{s_{max} - s_{min}}{2} = \frac{20.30 - 17.73}{2} \approx 1.29 \text{ км}\) Ответ: Абсолютная погрешность расстояния составляет примерно 1.29 км. 3. Для того чтобы утверждать, что катер преодолеет расстояние в 18 км, нужно проверить, попадает ли это значение в интервал возможных расстояний с учетом погрешностей. Минимальное возможное расстояние составляет \(s_{min} \approx 17.73 \text{ км}\), а максимальное \(s_{max} \approx 20.30 \text{ км}\). Так как 18 км находится в этом интервале, то можно утверждать, что катер преодолеет расстояние в 18 км с учетом погрешностей. Ответ: Да, можно утверждать.