2. Катер прошел 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова собственная скорость катера, если скорость течения 2 км/ч?

Решение: Пусть собственная скорость катера равна \(v\) км/ч. Тогда скорость катера по течению равна \(v + 2\) км/ч, а против течения \(v - 2\) км/ч. Время, затраченное на путь по течению, равно \(\frac{40}{v+2}\) ч, а против течения \(\frac{6}{v-2}\) ч. Общее время равно 3 ч. Составим уравнение: \(\frac{40}{v+2} + \frac{6}{v-2} = 3\) \(40(v-2) + 6(v+2) = 3(v+2)(v-2)\) \(40v - 80 + 6v + 12 = 3(v^2 - 4)\) \(46v - 68 = 3v^2 - 12\) \(3v^2 - 46v + 56 = 0\) \(D = (-46)^2 - 4(3)(56) = 2116 - 672 = 1444\) \(v_1 = \frac{46 + \sqrt{1444}}{6} = \frac{46 + 38}{6} = \frac{84}{6} = 14\) \(v_2 = \frac{46 - \sqrt{1444}}{6} = \frac{46 - 38}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\) Так как скорость катера против течения должна быть положительной, то \(v-2 > 0\), следовательно \(v > 2\). Оба корня удовлетворяют этому условию. Однако, \(\frac{4}{3} \approx 1.33\), что меньше 2. Значит, это не может быть ответом. Ответ: 14 км/ч.