1. Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше ее числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель на 21, то дробь уменьшится на \(\frac{1}{4}\). Найдите эту дробь.

Решение: Пусть числитель дроби равен \(x\), тогда знаменатель равен \(x + 4\). Исходная дробь: \(\frac{x}{x+4}\). После изменений получаем дробь \(\frac{x+2}{x+4+21} = \frac{x+2}{x+25}\). Из условия задачи следует, что \(\frac{x}{x+4} - \frac{x+2}{x+25} = \frac{1}{4}\). Решаем уравнение: \(\frac{x(x+25) - (x+2)(x+4)}{(x+4)(x+25)} = \frac{1}{4}\) \(\frac{x^2+25x - (x^2+4x+2x+8)}{(x+4)(x+25)} = \frac{1}{4}\) \(\frac{x^2+25x - x^2-6x-8}{x^2+29x+100} = \frac{1}{4}\) \(\frac{19x-8}{x^2+29x+100} = \frac{1}{4}\) \(4(19x-8) = x^2+29x+100\) \(76x-32 = x^2+29x+100\) \(x^2-47x+132 = 0\) Находим дискриминант: \(D = (-47)^2 - 4*1*132 = 2209 - 528 = 1681\) \(x_1 = \frac{47+\sqrt{1681}}{2} = \frac{47+41}{2} = \frac{88}{2} = 44\) \(x_2 = \frac{47-\sqrt{1681}}{2} = \frac{47-41}{2} = \frac{6}{2} = 3\) Если \(x = 44\), то дробь \(\frac{44}{48}\), если \(x = 3\), то дробь \(\frac{3}{7}\). Ответ: \(\frac{3}{7}\)