Катер прошёл по течению реки 32 км, повернув обратно, он прошёл ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Для решения задачи обозначим собственную скорость катера через \( v \) км/ч. Время движения по течению составит \( \frac{32}{v+5} \), а против течения — \( \frac{24}{v-5} \). Сумма этих времён равна общему времени: \[ \frac{32}{v+5} + \frac{24}{v-5} = 4. \] Преобразуем уравнение: \[ 32(v-5) + 24(v+5) = 4(v+5)(v-5). \] Раскроем скобки: \[ 32v - 160 + 24v + 120 = 4(v^2 - 25). \] Приведём подобные члены: \[ 56v - 40 = 4v^2 - 100. \] Приведём уравнение к стандартному виду: \[ 4v^2 - 56v - 60 = 0. \] Разделим на 4: \[ v^2 - 14v - 15 = 0. \] Найдём корни квадратного уравнения: \[ v = \frac{14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1} = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 60}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{14 \pm 16}{2}. \] Корни: \( v = 15 \) и \( v = -1 \). Отрицательное значение не подходит, следовательно, \( v = 15 \). Собственная скорость катера равна 15 км/ч.