Катер вышел из пункта А в 8:00, проплыл 30 км по течению реки до пункта Б, сделал остановку на 50 минут и вернулся обратно в пункт А в 13:00 того же дня. Найдите собственную скорость катера (в км/ч), если скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Решение: 1. Определим общее время в пути. Катер вышел в 8:00 и вернулся в 13:00. Общее время в пути составляет: $$13:00 - 8:00 = 5$$ часов. 2. Учтем время стоянки. Катер стоял 50 минут. Переведем минуты в часы: $$50 ext{ минут} = rac{50}{60} ext{ часа} = rac{5}{6}$$ часа. 3. Определим чистое время движения. Чистое время движения – это общее время минус время стоянки: $$5 - rac{5}{6} = rac{30}{6} - rac{5}{6} = rac{25}{6}$$ часа. 4. Введем переменную. Пусть $$x$$ км/ч – собственная скорость катера. 5. Определим скорость по течению и против течения. Скорость по течению: $$x + 3$$ км/ч. Скорость против течения: $$x - 3$$ км/ч. 6. Запишем время движения по течению и против течения. Время движения по течению: $$rac{30}{x + 3}$$ часа. Время движения против течения: $$rac{30}{x - 3}$$ часа. 7. Составим уравнение. Сумма времени движения по течению и против течения равна чистому времени движения: $$rac{30}{x + 3} + rac{30}{x - 3} = rac{25}{6}$$ 8. Решим уравнение. Умножим обе части уравнения на $$6(x + 3)(x - 3)$$, чтобы избавиться от знаменателей: $$6 cdot 30 (x - 3) + 6 cdot 30 (x + 3) = 25 (x + 3)(x - 3)$$ $$180 (x - 3) + 180 (x + 3) = 25 (x^2 - 9)$$ $$180x - 540 + 180x + 540 = 25x^2 - 225$$ $$360x = 25x^2 - 225$$ $$25x^2 - 360x - 225 = 0$$ Разделим обе части на 5: $$5x^2 - 72x - 45 = 0$$ 9. Решим квадратное уравнение. Используем квадратное уравнение $$ax^2 + bx + c = 0$$, где $$a = 5$$, $$b = -72$$, $$c = -45$$. Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4 cdot 5 cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084$$. $$x = rac{-b pm sqrt{D}}{2a} = rac{72 pm sqrt{6084}}{10} = rac{72 pm 78}{10}$$ 10. Найдем корни уравнения: $$x_1 = rac{72 + 78}{10} = rac{150}{10} = 15$$ $$x_2 = rac{72 - 78}{10} = rac{-6}{10} = -0.6$$ (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной). 11. Запишем ответ. Собственная скорость катера равна 15 км/ч. Ответ: 15 км/ч.